第 13 周长方体和立方体 (一）
主题简介
在物理比赛中一根长80厘米 宽和高都是12厘米的长方体钢材，有很多关于长方体和立方体的问题。在回答稍微复杂一点的三维图形问题时，有几点需要注意：
1. 必须以基本概念和技能为基础，同时传达构成几何图形的诸多条件；2.依靠积累的空间概念，观察物体切割修复后表面积或体积的变化；3. Find 一些不规则的物体体积可以用变体的方式求解。
例 1 零件的形状和尺寸如右图所示： 计算，它的体积是多少立方分米？平方分米的表面积是多少？（单位：分米）
分析（1）可以将部分沿实线一分为二求其体积。右边长方体的体积为10×4×2=80（立方分米），左边的长方体是10×(6－2）×2=80(立方分米)，整个部分的体积是80×2=160(立方分米)；(2）求曲面这部分的面积，看起来很复杂，不过，朝上的两个面的面积之和正好等于朝下的面积；两个朝右的面的面积之和为正好等于向左那个的面积。为此，这部分的表面积是(10×6+10×4+2×2）×2=232(正方形分米）。想一想：你能用其他方式估计它的体积吗？
练习一
1、将一个长5分米、宽1分米、高3分米的长方体剪掉（如图），剩下的部分表面积和体积是多少
2、将一块2米长的长方体木头锯成两个1米长的部分，表面积减少了2平方厘米。找到木头的原始体积。3、有一个长方体铁块，长8分米，宽1分米，高3分米。在左右角各切一个立方体（如图）。求立方体切割后的表面积和体积？
例2 有一个长方体的部分，中间挖了一个方孔（如图）。你能计算出它的体积和表面积吗？（单位：分米）
分析（1）先求长方体的体积，8×5×6=240（立方分米），因为挖了一个洞，体积减少了2×2×2=8（立方分米））一根长80厘米 宽和高都是12厘米的长方体钢材，这部分的体积为240－8=232（立方分米）；(2）长方体的完整表面积是(8×5+8×6+6×5）×2=236(平方分米)，但是因为挖了一个洞，它的表面积面积减少一（2×2）平方分米，同时凹面减少5（2×2）平方分米）。因此，这个的表面积部分是 236 + 2 × 2 × 4 = 252（平方分米）。
练习 2
1.求右图形状的零件的体积和表面积。（单位：分米）
2. 有一个边长为 4 分米的立方体。从它的一个顶点挖出一个边长为1分米的立方体后，剩下的物体的体积和表面积是多少？
3、如果将上题挖出的小立方体粘在另一面（如图），这样得到的物体的体积和表面积是多少？
例3 一个立方体和一个长方体组装成一个新的长方体，组装后的长方体的表面积比原长方体的表面积小50平方分米。原立方体的表面积是多少？
分析一个立方体和一个长方体形成一个新的长方体，其表面积比原来的长方体减少了4个正圆，每个正圆的面积为50÷4=12.@ >5（平方分米）。一个立方体有6个这样的面，所以原来立方体的表面积是12.@>5×6=75（平方分米）。
练习三
1.将两个相同的长方体铁块粘成一个大长方体。这个大长方体的表面积比原来的两个长方体表面积之和低了46平方分米，长度是原来长方体的两倍。如果形成的长方体的长度是 24 分米，它的体积是多少立方分米？2、长80分米、宽高12分米的长方体钢，从钢的一端锯出最大的立方体后，其表面积减少了多少平方分米？3. 如果将4个边长为2厘米的立方体粘成一个长方体，它们的表面积最多会减少多少平方厘米？
示例 4：将 11 个相同的长方体积木组装成一个大长方体。给定每块砖的体积为 288 立方分米，求大长方体的表面积。
分析需要一个大长方体的表面积，并且必须知道它的长宽高。我们用a、b、h分别表示小长方体的长、宽、高。其实a=4h，即h=1/4a，2a=3b，即b=2/3a，砖的体积就是a*2/3a *1/4a=1/6a3。从1/6a3=288，a=12，b=2/3*12=8，h=1/4*12=3。大长方体长12×2=24分米，宽12分米，高8+3=11分米，所以表面积不难求。
练习四
1、一个小立方体的表面积是6平方分米。那么，1000个这样的小立方体组成的大立方体的表面积是多少呢？2、一个长方体的体积是385立方分米，长、宽、高都是偶数。求长方体的表面积。3、有24个立方体，每个立方体的体积为1立方分米。这个立方体可以制作出多少种不同的长方体？画下来。
例 5 对于一个长方体，上面和里面的面积之和是 209 平方分米。这个长方体的长宽高都是质数。这个长方体的体积和表面积是多少？
分析长方体顶部和内侧的面积是长x宽+长x高=长x（宽+高），因为这个长方体的长宽高都是以分米为单位的质数，所以209= 11×19=11×(17＋2），即长宽高分别为11、17、2分米，体积和表面积很容易求如果你知道长度、宽度和高度。
练习五
1.有一个长方体，它的前后面积之和是88平方分米，长宽高都是质数，那么这个长方体的体积是多少？2、长方体的长、宽、高是三个连续的质数，它的体积是96立方分米。求它的表面积。3. 长方体的外观和立方体的边长等，已知长方体的长宽高分别为6厘米、4厘米和25厘米，求立方体的体积.
