期中复习应用部分拓展
【考点一】利润问题。
某种商品，以 60%的利润率来确定定价并出售该商品，之后又给予八折优惠将商品售出，最终依然获利 8.4 元，那么这件商品的进价是多少呢？
【对应练习】
某商场为促销运动衣，先把进价加价 50%，接着又宣传降价 20%，最终每件运动衣获利 20 元，那么每件运动衣的进价是多少呢？
【典型例题2】
一种折叠式自行车，甲商店的进货价比乙商店便宜 5%。甲商店按 20%的利润定价，乙商店按 15%的利润定价。最后甲商店比乙商店便宜 3 元。乙商店的进货价是多少元？
【典型例题3】
商店购进一批拖鞋，每双价格是 6.5 元。然后以每双 7.4 元出售。卖到还剩 5 双的时候，除了成本之外还获利 44 元。那么这批拖鞋到底有多少双呢？
【典型例题4】
某商店老板前往苹果产地收购苹果。收购价是每千克 1.2 元。产地到商店的距离是 400 千米。运费规定是每吨货物每千米收 1.5 元。在运输以及销售过程中会有 10%的损耗。商店要想达到 25%的利润率。那么每千克苹果应该售价多少呢？
【典型例题5】
某商店原先把一批苹果按 100%的利润定价出售，因定价过高无人购买，于是按照 38%的利润重新定价，在此情况下售出了 40%。这时由于担心水果腐烂变质，又进行了降价，把剩余的全部水果售出。最终实际获得的总利润是原定利润的 30.2%，那么第二次降价后的价格是原来定价的百分之几？
【典型例题6】
某玩具店第一天卖出 98 个玩具小狗，每个能获利 44.1 元。第二天卖出 133 个玩具小狗，每个获利是其成本的 40%。已知这两天卖出小狗所获得的钱数是相同的，那么每个玩具小狗的进价是多少呢？
【典型例题7】
甲乙两件商品的进价总和为 600 元。甲商品按照 45%的利润率来定价，乙商品按照 40%的利润率来定价。之后甲商品打八折进行出售，乙商品打九折进行出售。两件商品总共盈利 110 元。那么甲商品的进价是多少？乙商品的进价又是多少？
【考点二】复杂的百分数分段计费问题。
【方法点拨】
分段计费问题并非新题，它属于将知识点与类型题相结合进行再次应用的范畴。在处理分段计费问题时，最为重要的一点是要理解题意，读懂题目的相关说明。
【典型例题】
某公司为激励员工，制定了分段奖励机制，即依据员工每个月的销售业绩，按一定百分比进行提成。具体方案情况如下：
普通员工每月的基本工资是2000元。
月业绩在10000元以下的（包括10000元），没有提成；
月业绩超过10000元的，提出如下：
超过的部分如果在 0 到 10000 元之间（包含 10000 元），那么超出的那部分按照 2%进行提成。
超过的部分在 10000 元到 40000 元这个范围之内（包含 40000 元），按照 4%来提成；
C: 超过的部分在00元之间的（含元），按6%提成；
D: 超过的部分大于元的，按10%提成。
根据以上奖金机制，回答下列问题：
员工甲上个月的销售业绩为 35000 元，那么他会获得多少奖金呢？
员工乙在上个月成为该公司的销售状元，其销售业绩为 40 万元。那么，他上个月的收入是多少呢？
员工丙上个月获得的提成奖金为 4400 元，那么她上个月的业绩是多少呢？
【考点三】复杂的百分数促销问题。
【方法点拨】
促销问题属于非常具有生活实际作用的类型题。其关键在于能够读懂促销条件，并且理解题意。同时，还需要注意进行计算。
【典型例题】
阅读下列材料，然后解答问题：
某商场在促销期间有规定：其一，商场内所有商品都按标价的 80%进行出售；其二，当顾客在该商场的消费达到一定金额后，可按如下方案获得相应金额的奖券。
根据上述促销方法，顾客在商场内购物可以获得双重优惠。
若购买标价为 450 元的商品，那么消费金额是 450×80%，结果为 360 元，所获得的优惠额为 450×（1 - 80%）再加上 30 元，等于 120 元。
购买该商品得到的优惠率是由购买商品获得的优惠额除以商品的标价所确定的。 购买商品获得的优惠率等于购买商品获得的优惠额除以商品的标价。 商品的优惠率是通过购买商品获得的优惠额除以商品的标价来计算的。 购买商品获得的优惠率就是用购买商品获得的优惠额除以商品的标价得到的。 用购买商品获得的优惠额除以商品的标价就可以得到购买该商品得到的优惠率。
购买一件标价为 1000 元的商品，那么顾客得到的优惠率是多少呢？
对于标价处于 500 元到 800 元这个范围（包含 500 元和 800 元）的商品，顾客购买标价具体为多少元的商品时，能够获得的优惠率是多少？
【考点四】求不规则圆柱体的表面积。
【方法点拨】
要计算不规则圆柱体的表面积，首先需分析该图形是由哪些面组合而成的。接着分别去计算这些面各自的面积，最后把所计算出的各个面的面积相加起来。
【典型例题1】
如图，有一根长度为 2 米的圆木，其底面周长是 12.56 分米。沿着这根圆木的两条半径进行截取部分操作，那么该图形的表面积是多少平方分米？
【典型例题2】
如图，卫生纸的高度为 10 厘米，中间硬纸轴的直径是 4 厘米。制作 100 个这样的硬纸轴，需要计算所需硬纸皮的面积。那么先计算单个硬纸轴的侧面积，侧面积等于底面圆的周长乘卫生纸的高度。底面圆的直径是 4 厘米，可算出底面圆的周长，再乘 10 厘米得到单个硬纸轴的侧面积，最后乘 100 就可得到制作 100 个硬纸轴至少需要的硬纸皮面积是多少平方米。
【考点五】求组合立体图形的表面积。
【方法点拨】
求组合立体图形的表面积时，要注意分析它是由哪些图形组合而成的。要明确组成该图形的表面有哪些，以及这些表面是什么形状。接着分别计算这几个面的面积，最后把所计算的面的面积相加。
【典型例题】
如图，一个物体由三个圆柱构成。其中一个圆柱的半径是 0.5 分米，其高为 2 分米；另一个圆柱的半径是 2 分米，高为 2 分米；还有一个圆柱的半径是 5 分米，高为 2 分米。那么这个物体的表面积是多少平方分米？
【考点六】圆柱表面积的三种增减变化方式在体积中的应用。
【方法点拨】
1.圆柱高的变化引起表面积的变化：
底面积未变，实际上发生变化的是侧面积。由此能够求出底面周长，进而求出表面积。也就是说，底面周长 C 等于变化的表面积除以变化的高度。
2.横切引起的表面积变化。
平行于底面切（横切）一刀，多出的两个面是底面，即两个圆。
3.竖切引起的表面积变化。
垂直于底面进行切割（竖切），会多出两个面。这两个面是长方形，它们的长是以底面圆的直径为依据，宽是以圆柱的高为依据。也就是说，这两个长方形的长是底面圆的直径，宽是圆柱的高。
【典型例题1】
一个圆柱，若将它的高截短 3 米。它的表面积会减少。那么这个圆柱的体积减少多少立方米呢？
【典型例题2】
将一根长 4 米的圆柱形钢材截成两段，这样表面积就比原来增加了 15.7 平方厘米。那么这根钢材的体积是多少立方厘米呢？ 4 米等于 400 厘米，因为截成两段后表面积增加的是两个底面的面积，所以一个底面的面积是 15.7÷2 = 7.85 平方厘米，根据圆柱体积公式，体积等于底面积乘高，所以这根钢材的体积是 7.85×400 = 3140 立方厘米。
【考点七】不规则圆柱体的等积转化问题。
【方法点拨】
等积转化问题，关键是要找到题目里的体积不变量，接着依据体积不变来解决问题。
【典型例题1】
小军有一个名为图 A 的密封瓶子。这个瓶子里装了 250 毫升的果汁。若将瓶子倒过来成为图 B 状态，此时空白部分的容量是 50 毫升。如果把这个瓶装满果汁，那么一共能装的果汁量为瓶子已装的 250 毫升加上空白部分的 50 毫升，即一共能装 300 毫升。
【考点八】求长方体削成最大圆柱体的体积。
【方法点拨】
在一个长为 a 厘米、宽为 b 厘米、高为 c 厘米的长方体中，要切出一个体积最大的圆柱。需以中间长度的边作为圆柱底面圆的直径，然后根据具体情况选择圆柱的高，进而计算出这个圆柱的体积是多少立方厘米。
【典型例题】
一个长方体盒子，其长为 2 分米、宽为 2 分米、高为 5 分米。在这个盒子中，恰好可以放下一个圆柱形物体（如图所示）。那么，这个圆柱形物体的体积最大是多少立方分米呢？同时，盒子中空余的空间又是多少立方分米呢？
【考点九】圆锥的切面积问题。
【方法点拨】
把圆锥沿着高且垂直于底面切成完全一样的两块，每一块的切面是一个等腰三角形。这个三角形的底是底面圆的直径，高是圆锥的高。与圆锥的表面积相比，增加了两个这样的切面。
【典型例题1】
一个圆锥的底面半径为 2 厘米，其高是 7 厘米。沿着高且垂直于底面把圆锥切成完全相同的两块。那么每个切面是一个以圆锥的底面直径为底，以圆锥的高为高的三角形。圆锥底面直径为 2×2 = 4 厘米，三角形面积 = 底×高÷2，所以每个切面的面积是 4×7÷2 = 14 平方厘米。
【典型例题2】
圆锥沿着高切开后，表面积增加了 60cm²。已知圆锥底面直径是 10cm，切开后增加的表面积是两个以圆锥的底面直径为底，以圆锥的高为高的三角形的面积之和。由此可算出一个三角形的面积为 60÷2 = 30cm²。三角形面积公式为底×高÷2，那么圆锥的高为 30×2÷10 = 6cm。圆锥体积公式为 1/3×底面积×高，底面半径为 10÷2 = 5cm，底面积为 3.14×5² = 78.5cm²，所以圆锥体积为 1/3×78.5×6 = 157cm³。
【考点十】圆锥中的倒水问题。
【方法点拨】
圆锥中的倒水问题
圆锥中倒入部分水，水的形状为圆锥。水的高度与原来圆锥的高度之比为 m∶n 时，水形成的圆锥的底面半径与原来圆锥的底面半径之比也是 m∶n。因为圆的面积公式为\(S = \pi r^2\)（其中\(S\)表示面积，\(r\)表示半径），所以底面积之比为\(m^2∶n^2\)。又因为圆锥体积公式为\(V = \frac{1}{3}Sh\)（其中\(V\)表示体积，\(S\)表示底面积，\(h\)表示高），所以此时体积之比为\(m^3∶n^3\)。
【典型例题】
如图，圆锥形容器中装有 40 升水。水面的高度是这个容器高度的一半。那么这个容器最多能装多少升水呢？
【对应练习】
如图，圆锥形容器中存有 50 升水。此时水面的高度是这个容器高度的一半。那么这个容器最多能够装多少升水呢？
【考点十一】正比例与中点相遇问题。
【方法点拨】
中点相遇问题的关键是理解快车比慢车多行两个离中点的距离。
【典型例题】
求：
（1）甲车比乙车多行多少千米？
（2）A、B两地相距多少干米?
（3）甲、乙两车的速度各是多少?
【考点十二】比例与单量不变问题。
【方法点拨】
当单量保持不变时，意味着其他量发生变化，而单一量的值不会改变。对于这类题型，我们应以一份量作为未知数，依据题目中的关系来建立方程。
【典型例题】
小胖和大胖一起吃冰淇淋。起初，小胖和大胖吃的个数比是 2∶3。之后，大胖又吃了 24 个。现在，小胖和大胖吃的个数之比变为 10∶27。求小胖吃了多少个冰淇淋？
【对应练习】
小胖和大胖一同吃草莓。起初，小胖和大胖吃的草莓个数之比是 3 比 4。之后，大胖又吃了 10 个。此时，小胖和大胖吃的草莓个数之比变为 4 比 7。求小胖吃了多少个草莓？
【考点十三】比例与和不变问题。
【方法点拨】
在两个单量都发生变化时，存在和不变的问题，也就是说这两个量的和不会发生变化，并且和是一个定值。
【典型例题】
大宝和小宝一起吃饺子。一开始，大宝碗里的饺子个数与小宝碗里的饺子个数之比是 2:3。之后，大宝想要减肥，便夹了 10 个饺子放到小宝碗里。这时，大宝碗里的饺子个数与小宝碗里的饺子个数之比变为 3:7。求两人一共拥有多少个饺子？
【对应练习】
大宝和小宝一起喝汤圆。起初，大宝碗里的汤圆个数与小宝碗里的汤圆个数之比是 2∶3。之后，大宝因为想要减肥，夹了 4 个汤圆放到小宝碗里。这时，大宝碗里汤圆与小宝碗里汤圆之比变为 1∶2。求两人一共拥有多少个汤圆？
【考点十四】比例与差不变问题。
【方法点拨】
差不变问题指的是在两个单量发生变化时，这两个量的差不会发生变化。常见的差不变问题情况是同增同减差不变，就像年龄问题那样。
2.方程法解决比例问题：
方程法可以解决大部分的比例问题。一般会设一份量为 x ，接着就能表示出变比的过程。通过列出比例方程，就能够最终解决比例问题。
【典型例题】
小牛吃肥肉，大牛也吃肥肉。起初，小牛和大牛吃的肉块数之比是 2∶5。之后，小牛又吃了 5 块，大牛又吃了 2 块把一根长2米的圆柱形钢材截成两段，这时小牛和大牛吃的肉块数之比变为 5∶9。求原来小牛和大牛各自吃了多少块肥肉？
【考点十五】复杂的比例问题。
【方法点拨】
稍复杂的比例问题，先判断等量关系，再建立方程求解。
【典型例题】
小明和小芳压岁钱有比例关系，其比是 4∶3。开学交学费用去的钱也有比例，比是 18∶13。之后小明剩下 36 元，小芳剩下 48 元。求原来两人各有多少压岁钱。
【对应练习】
兄弟两人的月收入之比是 4 比 3，月支出之比是 11 比 6，他们的月结余都是 3600 元，要问每人每月的收入是多少元。
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