这个问题乍一看很复杂，让人无从下手，其实从平面几何关于外接圆的两个基本定理入手，就能一步步快速解决（从四大发明开始（三）炼金术手指 | 袁岚峰）。
基本思想就是先证明五个点中有四个点在同一个圆上，然后按同样的逻辑推导出另外四个点也在同一个圆上，可以看出两个圆是同一个圆，所以五个点都在同一个圆上。
首先要指出，圆内还有另外五个点：A，C，N，I，K。仔细看，A、C是五角星五个外侧顶点中不相邻的两个顶点，I是五角星五个内侧顶点中与AC相对的顶点，K、N分别是A、C两个外侧顶点在向着I方向的外接圆的交点。我们需要证明这五个点在一个圆内。
那怎么知道呢？我们先证明五个点中有四个点共圆，分别是 A、C、I、N。如果这个证明成立，那么按照同样的逻辑，A、C、I、K 四个点也是共圆的，所以两个圆就是同一个圆，我们的目的就达到了：A、C、N、I、K 五个点共圆。
那么，如何证明点 A、I、N、C 共圆呢？一个基本定理是，四点共圆的必要充分条件是这四点构成的四边形的内角互补，即内角和为 180 度。所以我们要证明：
角ACN + 角AIN = 180度。
我们再看右下角的外接圆，N、C、G、H四个点都属于这个圆，所以：
角GCN+角GHN=180度。
角GCN就是角ACN，因为直线AC和直线GC是同一条直线。所以我们要证明的是：
角 AIN = 角 GHN。
怎么证明这两个角相等呢？我们先看它们的补角，就是180度减去它们。角AIN的补角是角NID，角GHN的补角是角NHD。所以，我们只要证明这两个补角相等就可以了。
这一点是一目了然的，因为看左下角的外接圆，四个点 N、D、I 和 H 是共圆的！我们再来回顾一下四个点共圆的另一个必要和充分条件。这四个点连接的两个三角形的顶角相等。角 NID 和 NHD 是两个必须相等的顶角。
这样，我们就完成了第一步的逻辑链，证明了A，I，N，C四个点在一个圆内，进而证明了A，I，N，C，K五个点在一个圆内。
接下来我们按照逻辑链的第二步，也就是K，L，M，N，O五个点是同心的，我们先来证明K，L，M，N四个点是同心的。
为此，我们需要证明：
角 LMN + 角 LKN = 180 度。
你怎么知道？
将角LMN分成两部分，等于角LMG+角GMN。这两个角很好处理，因为它们各自在一个外接圆内。接下来，我们将分别研究这两部分。
我们来看一下右上角的外接圆：
角 LMG = 180 度 - 角 LFG = 角 LFA。
我们来看一下上面的外接圆：
角 LFA = 角 LKA。
由此我们可以看出角LMG=角LKA。
我们看一下右下角的外接圆：
角度 GMN = 角度 GCN。
角GCN就是角ACN。那么，我们已经知道A，I，N，C，K五个点是共圆的，所以：
角 GMN = 角 ACN = 180 度 - 角 AKN。
现在仔细看看，角 AKN 由角 LKA 和 LKN 组成。因此，我们希望它等于这两个角的总和，即 180 度：
角 LMN + 角 LKN = 角 LMG + 角 GMN + 角 LKN
= 角 LKA + (180 度 - 角 AKN) + 角 LKN
=180度。
确实等于180度，这样我们就完成了逻辑链的第二步，K，L，M，N四个点共圆了。
剩下一点O，按同样道理，O与另外四个点中的任意三个点也共圆。
所以最终结论是：这五个圆是同一个，这五个点是同心的。证明完毕。
最后讲一个关于这个问题的小故事，著名数学家张敬中，曾任广东师范大学数学系主任，2000年10月18日，江泽民主席给他打电话。
（江泽民同志与数学|和乐数学） “请问，请问是张敬忠教授吗？”电话那头的声音有些熟悉。“是的，我是张敬忠。”“您好，我是江泽民。”他稍顿了一下，很快回答道：“江总书记您好。”
原来，他在《计算机怎样解决几何问题》一书中说过，这个问题用计算机只需3.9秒就能解决，但江泽民感兴趣的是如何用人来证明。
江泽民说：“我经常看您的《用计算机解几何题》这本书，平时工作太忙，看这些书倒是可以放松心情的。我以前也在职业学校教过几何课，也是个几何爱好者。那本书里有些地方我不明白，想请教您。”江泽民又一字不差地把问题重复了一遍，“您能把证明写出来给我吗？”“可以。”随后，江泽民还对张敬忠的经历和他目前从事智能教育软件研发的工作表示了极大的关心。
就在这次谈话之后两个月，2000年12月20日，江泽民到澳门出席澳门特别行政区成立一周年庆祝活动，向澳门的中学生提出了这个问题。当时，没有人能当场给出答案。江泽民笑着告诉大家，他在请教广东的一位老师后，也找到了答案。他说：“我向濠江中学提出这个问题，就是为了说明做人要有钻研精神。”江泽民离开澳门后，一些老师把答案寄到了北京。江泽民亲自写信，向澳门的老师们表示感谢，鼓励他们为澳门培养更多的优秀人才。
