六年级专题一：逻辑推理
同学们在一些课外读物中是否留意到一类题目呢？这类题目不是依靠计算去解决问题的，而是依据条件与结论之间的逻辑关系，进行合理的推测，最终找到了问题的答案。这就是逻辑推理问题。
甲、乙、丙、丁 4 位同学之中有一位同学在假日去了敬老院做了好事，老师对情况进行了解，这 4 人分别作出了如下回答：
甲说：“不是我做的。”
乙说：“是甲做的。”
丙说：“不是我做的。”
丁说：“是乙做的。”
他们4人中只有一人说的是真话，
你知道是谁做的好事吗？
【跟进练习】
A 同学参加了学校组织的“一站到底”的角逐，B 同学也参加了，C 同学参加了，D 同学参加了，E 同学参加了，F 同学参加了。对于谁能成为冠军，甲有猜测，乙有猜测，丙有猜测，丁有猜测。
甲说：冠军不是A就是B；
乙说：冠军不是C；
丙说：D、E、F都不可能是冠军；
丁说：冠军是D、E、F中的一个人。
比赛结果，这四人中只有一人猜测是正确的，请判断谁是冠军？
学校举行了一次田径运动会，A、B、C、D、E 这五个班获得了团体前五名。发奖之后，有人询问他们的名次，他们给出了回答。
A班代表说：“B是第三名，C是第五名。”
B班代表说：“D是第二名，E是第四名。”
C班代表说：“A是第一名，E是第四名。”
D班代表说：“C是第一名，B是第二名。”
E班代表说：“D是第二名，A是第三名。”
他们都补充说他们的话是半真半假的。请你判断他们各个班的名次。
【跟进练习】
甲、乙、丙、丁四位同学的运动衫上印有不同的号码。
赵说：“甲是2号，乙是3号.”
钱说：“丙是4号，乙是2号.”
孙说：“丁是2号，丙是3号.”
李说：“丁是4号，甲是1号.”
又知道赵、钱、孙、李每人都只说对了一半，那么丙的号码是几？
赵老师、钱老师、孙老师、李老师四位进行乒乓球比赛，并且决出了第一名、第二名、第三名、第四名，已知：
（1）赵老师的名次比钱老师的名次靠前；
（2）孙老师和李老师喜欢一起下象棋；
（3）第一名和第三名在这次比赛中才认识的；
（4）第二名不会开电动车，也不会下象棋；
（5）钱老师和李老师每天都是开电动车一起上班。
请根据以上条件判断他们各自的名次。
【跟进练习】
某班有语文、数学、英语、音乐、体育、美术这 6 门学科。张老师、陈老师、王老师三人分别担任这些学科的教学工作，每人负责教授两门学科。已知以下情况：
（1）陈老师最年轻；
（2）张老师喜欢和体育老师、数学老师三人一起聊天；
（3）英语老师和数学老师每天一起上班；
（4）体育老师比语文老师年龄大；
（5）陈老师喜欢和音乐老师、语文老师三人一起打乒乓球。
你能说出3人分别教哪门学科吗？
甲在南京工作，职业是工人；乙在上海工作，职业是记者；丙在北京工作，职业是教师。
（1）甲不在南京工作；
（2）乙不在上海工作；
（3）在南京工作的不是教师；
（4）在上海工作的是工人；
（5）乙不是记者。
三个人各在什么地方？各是什么职业？
【跟进练习】
甲是工程师，他的业余爱好是文学；乙是会计师，他的业余爱好是绘画；丙是教师，他的业余爱好是音乐。
(1)爱好音乐、文学者和甲一起看电影。
(2)爱好绘画者常请会计师讲经济学。
(3)乙不爱好文学。
工程师常常抱怨自己在绘画和音乐方面完全不通。每个人的职业是什么呢？每个人的爱好又是什么呢？
六年级(1)班举行跳绳、踢毽子、短跑三项比赛。全班分为四大组，每个大组推选两名运动员参赛。每个项目每组只能派一人参加。参加跳绳的有小马、小张、小刘、小林；参加踢毽子的有小刘、小朱、小马、小宋；参加短跑的有小宋、小陈、小马、小张。小徐因赛前扭了脚，三次都未参加。你能知道他们哪两个是同组同学吗？
【跟进练习】
六年级举行科技知识竞赛，5 个班级各派两名选手参赛。比赛分四项，每项每班只能派一名选手。第一项参赛的有吴、孙、赵、李、王；第二项参赛的有郑、孙、吴、李、周；第三项参赛的有赵、张、吴、钱、郑；第四项参赛的有周、吴、孙、张、王。且刘某四次均未参赛。那么，吴分别在四项比赛中出现，所以吴和刘某是同一个班；孙在第一项、第二项、第四项中出现，所以孙和郑是同一个班；赵在第一项、第三项中出现，所以赵和钱是同一个班；李在第一项、第二项中出现，所以李和张是同一个班；王在第一项、第四项中出现，所以王和周是同一个班。
六年级专题二：长方体和正方体表面积
我们在解决长方体和正方体的表面积问题时，常常会碰到通过拼、切、挖等操作，致使原来物体的形状发生改变的情况。那么，改变后物体的表面积是否有变化呢？又是如何变化的呢？
这个数的 5 倍比它的 3 倍要多 12，那么这个数是多少呢？
【跟进练习】
8 个同样的小正方体可以拼成一个大正方体。每个小正方体的表面积是 8 平方厘米。那么一个面的面积是 8÷6 = 4 / 3 平方厘米。拼成的大正方体的棱长是小正方体棱长的 2 倍。大正方体一个面的面积是 4 / 3×4 = 16 / 3 平方厘米。大正方体的表面积是 16 / 3×6 = 32 平方厘米。
16 个棱长为 2 厘米的正方体搭成了如下面左图所示的样子，这个立体图形的表面积是多少平方厘米呢？
【跟进练习】
有一个零件，其形状如上面右图所示。现在需要求出这个零件的表面积。单位为厘米。
有一个长 10 厘米、宽 8 厘米、高 3 厘米的长方体，将其切成两个完全一样的小长方体，那么两个小长方体的表面积之和最大是多少呢？
【跟进练习】
一个正方体被切成了 24 个小长方体 这些小长方体的表面积总和是 162 平方厘米 要求这个正方体的表面积
一个正方体的棱长为 10 厘米。在它的表面要挖去一个长 10 厘米、宽和高都是 2 厘米的长方体。那么有几种挖法呢？剩下立体图形的表面积又是多少呢？
【跟进练习】
一个正方体木块棱长为 3 厘米，在其每个面的中心打一个直穿木块的洞，洞口是边长 1 厘米的正方形。求挖洞后木块的表面积是多少。
将一个正方体的高增加 2 厘米，便能得到一个底面保持不变的长方体。这个长方体的表面积比原先的正方体大 32 平方厘米。那么原来正方体的表面积是多少呢？
【跟进练习】
如图，有一根长方体木料，它的横截面是正方形，其长度为 1 米，也就是 100 厘米。从这根木料上锯下 12 厘米长的一段后，表面积减少了 960 平方厘米。现在要求剩下木料的表面积。
六年级专题三：长方体和正方体体积
4. 有的问题涉及正方体的体积计算。
1.把一个物体浸入水中，物体在水中占据一部分体积；
2.把一个物体变形为另一种形状的物体；
3.把几个物体融合成一个物体。
解决这些问题的关键是：抓住体积相等。
一个棱长为 15 厘米的正方体容器，里面已经装了一些水。当把一个土豆完全浸没在水中时，水会溢出容器。而把土豆从水中取出后，水面会下降 2 厘米。现在要求土豆的体积。
【跟进练习】
一根长方体石料，其底面是边长为 10 厘米的正方形，高为 20 厘米。将它浸没在棱长 4 分米（即 40 厘米）的正方体水槽中，水槽内原来水的高度是 28 厘米。那么放入石料后水面上升的高度为：石料的体积除以水槽的底面积，石料体积为底面边长乘底面边长乘高，即 10×10×20 立方厘米，水槽底面积为棱长乘棱长，即 40×40 平方厘米，所以水面上升高度为 10×10×20÷(40×40) 厘米。原来水高 28 厘米，放入石料后水面的高度就是 28 加上水面上升的高度，即 28 + 10×10×20÷(40×40) 厘米。
一根底面边长为 5 厘米的长方体钢材，被直立在一个长方体储水桶里且正好被水面浸没。当把钢材竖着拉出水面 12 厘米时有一根长30分米的长方体钢材，水面会下降 3 厘米；当把钢材全部拉出水面时，水面会再次下降 1 厘米。求这根钢材的体积。
【跟进练习】
一根高为 16 厘米的长方体钢材，其底面是长 5 厘米、宽 4 厘米的长方形。将这根钢材直立放在长方体水桶中，水面会上升 6.4 厘米且正好浸没钢材。若把钢材竖着拉出水面 6 厘米，那么水面高度会下降多少厘米？
一个长方体容器里面有水，水的水面高度为 2.5 厘米，容器内侧的底面积是 72 平方厘米。在这个杯子里放进棱长是 6 厘米的铁块后，水面没有将铁块淹没，此时水面的高度是多少厘米。
【跟进练习】
在底面是边长为 60 厘米的正方形的长方体容器里，直立着一个长 100 厘米，底面是边长 15 厘米正方形的四棱柱铁棍。此时容器内水深 50 厘米。现在把铁棍轻轻向上提 24 厘米。那么水面会下降，下降的水的体积等于铁棍提起部分的体积。铁棍提起部分的体积为 15×15×24 立方厘米。用这个体积除以容器底面积（60×60），就可得到水面下降的高度。水面下降的高度为 15×15×24÷(60×60) 厘米。原来水深 50 厘米，提起 24 厘米后，现在水下的铁棍长度为 100 - 24 厘米，再加上水面下降的高度，就是露出水面的四棱柱浸湿部分的长度，即 100 - 24 + 15×15×24÷(60×60) 厘米。
一个容器是完全封闭的，它的长和宽均为 10 厘米，高是 25 厘米。当竖放时，容器内水的高度是 10 厘米。若把这个容器平放（如图），那么水的高度是多少？
【跟进练习】
已知有一堆黄土，其中 A 的面积是 25 平方厘米，B 的面积是 15 平方厘米，A 处比 B 处高 4 厘米。现把 A 处的土推向 B 处，要使 AB 两处同样高，那么需要求 A 处下降了多少。
如图，一个容器下部是长 8 厘米、宽 4 厘米、高 4 厘米的长方体，上部是棱长 4 厘米的正方体且正方体上方开口。一次大雨降水量为 30 毫米，用该容器收集到的雨水高度是多少毫米？
【跟进练习】
如图，容器上面部分是一个长 80 毫米、宽 40 毫米、高 40 毫米的长方体，下面部分是一个棱长 40 毫米的正方体。大雨过后，用此容器收集到的雨水高度为 50 毫米，那么这次的降雨量是多少毫米？
六年级专题四：捆扎、包装与做盒子
生活中有许多物品的外包装呈长方体或正方体形状。人们购买多件这样的物品时，就需对其进行捆扎或再包装。有时，我们会利用长方形或正方体的纸板、木板、铁皮等材料，制作出长方体或正方体的盒子用于装东西。此专题将一同研究这类有意思的问题。
一个长方体礼品盒，其长为 40 厘米，宽为 30 厘米，高为 20 厘米。若用一根彩带按照下图的方式捆扎起来，那么大约需要多长的彩带呢？需注意，打结处按 20 厘米来计算。
【跟进练习】
张大伯将鸡蛋装满一个长方体纸箱，接着像下图那样把纸箱捆扎起来。已知长方体纸箱的长为 35 厘米，宽是 25 厘米，高是 10 厘米。那么需要计算出至少需要多长的扎绳，其中打结处按 20 厘米计算。
茶厂需设计一种长方体包装箱，每箱要装 6 盒像下图这样的茶叶。需思考包装箱的长、宽、高分别为多少厘米较为合适？（不考虑空隙因素）
【跟进练习】
要把 4 本《现代汉语词典》包装起来，每本词典长 20 厘米、宽 12 厘米、高 4 厘米，在重叠处不计的情况下，至少需要准备多少平方厘米的包装纸呢？
小军在商店买了 8 个相同的魔方，他让营业员用彩纸进行包装。那么营业员应该怎样包装才最节省彩纸呢？
【跟进练习】
将 12 个同样的小正方体积木用彩纸进行包装。要思考怎样的包装方式能够使得使用的彩纸最少。
用一块长 18 分米且宽 12 分米的长方形铁片来制作一个深 1 分米的长方体无盖铁盒，该怎么做呢（在图上进行表示）？这个铁盒的容积是多少升呢？
【跟进练习】
有一块铁皮是长方形的，其长为 32 分米。在这块铁皮的四个角处分别剪下一个边长为 4 分米的小正方形。接着将剩余部分焊接成一个无盖的长方体铁盒。已知这个铁盒的容积是 768 升，需要求出原来长方形铁皮的面积。
一只小蚂蚁从下图长方体盒子的 A 点开始出发，沿着盒子的表面进行爬行。它依次经过了前面、上面、后面、下面这些部分，最后抵达 P 点。请为这只小蚂蚁设计出一条最短的爬行路线。
【跟进练习】
下图为一个正方体。四边形 APQC 表示用平面截正方体所形成的截面。请在右图的展开图里画出四边形 APQC 的四条边。
六年级专题五：分数巧算（一）
我们进行有关分数运算时，要牢记运算定律和性质。同时，还要仔细观察，依据运算符号和数字的特点，把其中一些数字进行合理的分拆或者合并，重新组合成能够运用运算定律、性质进行简便计算的形式，以此达到巧算的目的。
例1:用简便方法计算。
【跟进练习】
用简便方法计算。
例2:用简便方法计算。
【跟进练习】
用简便方法计算。
例3:用简便方法计算。
【跟进练习】
用简便方法计算。
例4:用简便方法计算。
【跟进练习】
用简便方法计算。
例5:用简便方法计算。
【跟进练习】
用简便方法计算。
六年级专题六：分数巧算（二）
不同数学知识之间常有一些我们未曾料到的联系。比如，学了小数乘、除法之后，我们能发现，一个数除以 0.1 时，其结果和这个数乘 10 是相同的；一个数除以 0.5 时，结果和这个数乘 2 相同；一个数除以 0.25 时，结果和这个数乘 4 相同……依据这种联系，我们可以把除法转变为乘法，从而进行简便计算。分数四则运算之间是否存在某种联系呢？能否找到用于简便计算的联系呢？我们在这个专题中一起进行研究。
例1:比较下面每组算式的计算结果，你有什么发现？
【跟进练习】
例2:用简便方法计算。
【跟进练习】
用简便方法计算。
例3:用简便方法计算。
【跟进练习】
用简便方法计算。
例4:用简便方法计算。
【跟进练习】
用简便方法计算。
例5:用简便方法计算。
【跟进练习】
用简便方法计算。
六年级专题七：几何图形中的按比例分配
“按比例分配”问题的基本结构：是以分配的量以及分配的比作为条件，进而求出各部分量具体是多少。解题的关键在于“量”与“比”相互对应，在几何图形中，“按比例分配”也是同样的道理。
这个数的 75%比它的 25%多 30，求这个数是多少。
【跟进练习】
一个等腰三角形存在两个角的比为 2:5。那么这个等腰三角形的顶角是多少度呢？
一个长方形的周长为 40 厘米，其长和宽存在 3∶2 的比例关系。那么这个长方形的面积是多少平方厘米呢？
【跟进练习】
长方形的面积为 20×16 = 320 平方厘米。
一个长方体的棱长总和为 560 厘米，其长宽高的比例是 4:2:1。那么这个长方体的体积是多少立方厘米呢？
【跟进练习】
一个长方体的棱长总和为 640 厘米，其长宽高存在一定比例关系，比例为 6:1:1。那么这个长方体的体积是多少立方厘米呢？
两个正方体的体积之和为 4200 立方厘米，它们的棱长存在 3:2 的比例关系。那么这两个正方体的体积分别是多少立方厘米呢？
【跟进练习】
因为正方体表面积公式为 6a²（a 为棱长），棱长比是 3:1，所以表面积比是 9:1。设乙正方体表面积为 x 平方厘米，那么甲正方体表面积就是 9x 平方厘米，9x - x = 480，8x = 480，x = 60，所以乙正方体表面积是 60 平方厘米有一根长30分米的长方体钢材，甲正方体表面积是 9×60 = 540 平方厘米。
一个长方形的面积为 486 平方厘米，其长和宽的比例是 3:2，需求出这个长方形的周长。
【跟进练习】
已知有一块长方形操场，其面积为 2200 平方米，长和宽的比例是 11:8，那么这块长方形操场的周长是多少呢？
六年级数学思维训练
