知识点梳理
圆柱的相关计算公式：
底面积：S底=πr²
底面周长：C底=πd=2πr
侧面积：S侧=2πrh
表面积：S表=2S底+S侧=2πr²+2πrh
体积：V柱=πr²h
圆柱的切割：
①横切：切面是圆，表面积增加2倍底面积，即S增=2πr²
竖切（过直径）时，切面为长方形。当 h = 2R 时，切面为正方形。该长方形的长是圆柱的高，宽是圆柱的底面直径。此时表面积增加两个长方形的面积，也就是 S 增 = 4rh。
圆柱的特征：
①底面的特征：圆柱的底面是完全相等的两个圆。
②侧面的特征：圆柱的侧面是一个曲面。
③高的特征：圆柱有无数条高。
圆柱的侧面展开图：
沿着高进行展开，展开之后的图形是长方形。倘若 h 等于 2πr，那么展开后的图形就会是正方形。
②不沿着高展开，展开图形是平行四边形或不规则图形
③无论怎么展开都得不到梯形
圆锥的相关计算公式：
底面积：S底=πr²
底面周长：C底=πd=2πr
体积：V锥=1/3πr²h
圆锥的切割：
①横切：切面是圆
竖切（过顶点和直径）：切面呈现为等腰三角形。此等腰三角形的高即为圆锥的高，其底为圆锥的底面直径。这样的切法会使面积增加两个等腰三角形的面积，也就是 S 增等于 2rh。
圆锥的特征：
①底面的特征：圆锥的底面一个圆。
②侧面的特征：圆锥的侧面是一个曲面。
③高的特征：圆锥有一条高。
圆柱和圆锥的关系
①圆柱与圆锥等底等高，圆柱的体积是圆锥的3倍。
②圆柱与圆锥等底等体积，圆锥的高是圆柱的3倍。
圆柱与圆锥等高且体积相等，圆锥的底面积是圆柱底面积的 3 倍。
④圆柱与圆锥等底等高，体积相差2/3Sh
思维导图
易错汇总
1、圆锥的高是指从圆锥的顶点到底面圆心的距离。
2、圆柱有无数条高，圆锥只有一条高。
3、半圆能围成圆锥，但整个圆不能围成圆锥。
4、运用圆锥体积的计算公式时不要忘记乘。
5、只有等底等高的圆柱和圆锥的体积才存在3倍的关系。
易错精讲
【易错一】下面选项中以虚线为轴旋转一周，（）能得到
。
A．
B．
C．
通过面动成体这一原理来判断各个选项中的图形旋转后所得到的立体图形，这样就能得出答案。
以虚线为轴进行旋转一周，会得到一个椭球，该选项不符合要求。
以虚线作为轴进行旋转一周的操作，这样会得到一个由圆锥和圆柱组合而成的物体，而这个选项与得到该组合体的情况不相符。
C．以虚线为轴旋转一周，则得到一个圆锥，此选项符合。
故答案为：C
本题考查了点、线、面、体，解题的关键是熟悉并能判断出旋转后的立体图形。
一个圆锥底面直径为 12 厘米。从顶点沿高将它切成两半后，表面积增加了 96 平方厘米。那么这个圆锥的高是多少厘米呢？
把圆锥从顶点沿着高切成两半，切面会是三角形。这样做之后，表面积增加了两个三角形。其中，三角形的底就是圆锥的底面直径，三角形的高就是圆锥的高。先通过增加的表面积除以 2，算出一个三角形的面积，然后就能求出圆锥的高了。
【完整解答】96÷2×2÷12＝8（厘米）
关键在于熟悉圆锥的特征，并且要理解圆锥从顶点沿着高将其切成两半之后，其表面积会增加两个完全相同的等腰三角形。
把一个正方体木块加工成最大的圆锥体，已知这个圆锥体的底面半径是 5 厘米。因为这个圆锥体的底面直径等于正方体的棱长，所以正方体的棱长为 10 厘米。正方体的体积等于棱长的立方，那么这个正方体的体积是 10×10×10 = 1000 立方厘米。
【解题思路】题干表明要把一个正方体木块加工成最大的圆锥体。在此过程中，圆锥体的底面直径与正方体的棱长是相等的。同时，我们知道正方体的体积计算公式为棱长×棱长×棱长，依据此公式便可进行解答。
分析可得，5 乘以 2 等于 10 厘米把一根长2米的圆柱形钢材截成两段，10 乘以 10 再乘以 10 等于 100 乘以 10 等于 1000 立方厘米。
答：这个正方体的体积是1000立方厘米。
此题考查的是立体图形的体积计算。解答时要注意它们之间的内在联系。
一块体积为 12 立方厘米的圆柱形橡皮泥被捏成了高为 6 厘米的圆锥，那么圆锥的底面积是多少平方厘米呢？
A．2 B．6 C．12
圆柱形橡皮泥捏成圆锥后，其体积保持不变。并且依据圆锥的体积公式：
，代入数据即可求圆锥的底面积。
【完整解答】12×3÷6＝36÷6＝6（cm2）
故答案为：B
此题的易错点在于要理解等积变形这一概念，并且能够灵活地运用圆锥的体积公式来进行求解。
一个圆锥形沙堆，其底面周长为 21.98 米，高是 1.8 米。每立方米沙子重 1.5 吨，需计算这堆沙子的重量，得数保留两位小数。
根据圆的周长公式 C 等于 2πr 可以得知，半径 r 等于 C 除以 π 再除以 2，由此可求出圆锥的底面半径；接着依据圆锥的体积公式。
先求出这堆沙子的体积，接着用求出的体积乘每立方米沙子的重量，这样就能求出这堆沙子的重量。
圆锥的底面半径为：21.98 除以 3.14 再除以 2，即 7 除以 2，结果是 3.5 米。
沙堆的体积：
×3.14×3.52×1.8＝
3.14 乘以 12.25 再乘以 1.8 的结果是 3.14 乘以 7.35，其结果为 23.079 立方米。
沙堆的重量：1.5×23.079≈34.62（吨）
答：这堆沙子约重34.62吨。
解题的关键在于先依据圆的周长公式算出圆锥的底面半径，接着依据圆锥的体积公式算出沙堆的体积。
一堆沙子体积为 9.8 立方米，将其装入高 1.8 米的圆柱形容器中，露出部分是高 0.9 米的圆锥形沙堆，求这个圆锥形沙堆的体积是多少立方米。
观察图形，圆锥的底面积与圆柱的底面积相同，设为某一值。利用圆柱的体积公式，将其代入可表示出圆柱的体积。利用圆锥的体积公式，把相关数据代入能表示出圆锥的体积。因为圆柱的体积加圆锥的体积等于 9.8，所以可求出底面积，再依据圆锥的体积公式求出这个圆锥形沙堆的体积。
【完整解答】
答：圆锥形沙堆的体积是1.4立方米。
此题的解理关键在于认识到圆柱和圆锥的底面积是相等的。然后通过体积公式来求出底面积，接着依据圆锥的体积公式就能得出答案。
同步练习题
一、填空。
把圆柱的侧面沿着高剪开，会得到一个图形。这个图形的长与圆柱底面的周长是相等的。同时，这个图形的宽等于圆柱的高。因此，圆柱的侧面积就等于底面周长乘高。
- 那么 4.5 立方米换算为立方分米就是 4.5×1000 = 4500 立方分米。
4070 立方分米等于多少立方米呢？因为 1000 立方分米等于 1 立方米，所以 4070 立方分米等于 4070÷1000 = 4.07 立方米。
3立方分米40立方厘米＝（ ）立方厘米
325 立方米等于多少立方分米呢？538 升等于多少升多少毫升呢？
这个长方体的体积是 4 个正方体体积之和，即 1×1×1×4 = 4 立方分米。
一个圆柱的底面半径为 2 分米，它的侧面积是 113.04 平方分米，那么这个圆柱体的高是多少分米呢？
一根圆钢的长度为 20 厘米，它被分成了两段且长度一样，此时表面积增加了 20 平方厘米，那么原钢材的体积是多少立方厘米呢？
所以圆柱的高是 2πr 。
体积是：12.56×6 = 75.36 立方厘米。
一个圆柱和一个圆锥，它们的底面积相等，高也相等。那么圆柱的体积是圆锥体积的 3 倍，圆柱体积的三分之一就等于圆锥的体积。
底面积为 85 立方厘米，高是 12 厘米的圆锥，其体积是多少立方厘米呢？答案是 340 立方厘米。与这个圆锥等底等高的圆柱体积又是多少立方厘米呢？答案是 1020 立方厘米。
一个长方体、一个圆柱体以及一个圆锥体，它们的底面积是相等的，并且体积也相等。那么，圆锥的高是圆柱高的 3 倍，长方体的高是圆锥高的三分之一。
将一根圆柱形木料截成 3 段，其表面积增加了 45.12 平方厘米，那么这根木料的底面积是多少平方厘米呢？
圆锥体的底面半径为 6 厘米，高是 1 分米即 10 厘米，其体积是（ ）立方厘米。
等底等高的圆柱体和圆锥体，它们的体积比是多少呢？圆柱的体积比圆锥的体积多的百分比是多少？圆锥的体积比圆柱的体积少的部分又是多少呢？
把一个圆柱体钢坯削成一个最大的圆锥体，那么削去部分的体积占圆柱体积的\(\frac{2}{3}\)。已知削去了 1.8 立方厘米，所以圆柱体积的\(\frac{2}{3}\)是 1.8 立方厘米，那么未削前圆柱的体积是 1.8 除以\(\frac{2}{3}\)，即 2.7 立方厘米。
圆柱体的侧面展开后得到一个边长为 25.12 厘米的正方形，这就意味着圆柱体的高等于这个正方形的边长，所以圆柱体的高是 25.12 厘米。
二、判断：
1. 圆柱体的体积与圆锥体的体积比是3 ∶1。 （ ）
2. 圆柱体的高扩大2倍，体积就扩大2倍。 （ ）
等底等高的圆柱和圆锥，圆柱的体积比圆锥的体积大两倍。这意味着圆柱体积是圆锥体积的 3 倍，圆锥体积是 1 份的话，圆柱体积就是 3 份，所以圆柱体积比圆锥体积大 2 份，即大 2 倍。（正确）
4. 圆柱体的侧面积等于底面积乘以高。 （ ）
它的侧面展开后是一个正方形。
6、两个数相乘的积一定大于被乘数。 （ ）
7、经过圆心的线段就是圆的直径。 （ ）
被减数、差以及减数的和除以被减数，所得的商是 2。
把 50 克盐溶解到 200 克水中，这样形成的盐水，其含盐率为 25%。
角是一种图形，它具有轴对称的性质。
圆柱的侧面积大小由圆柱底面周长的大小来决定。
底面积相等的两个圆柱，其底面半径相等。因为底面积和高分别相等，所以这两个圆柱的高也相等。圆柱的侧面积等于底面圆的周长乘高，底面圆的周长等于 2πr（r 为底面半径），由于底面半径相等且高相等，所以它们的侧面积一定相等。（ ）
把一个圆柱体截成两个圆柱体后，它的表面积一定会比原来增加两个底面积的大小。
如果两个圆柱的侧面积相等，那么它们的底面周长不一定相等。因为圆柱的侧面积等于底面周长乘高，当侧面积相等时，高不同，底面周长就不同；只有在高也相等的情况下，底面周长才相等。
三、选择：（填序号）
圆柱体的底面半径若扩大 3 倍，高保持不变，那么体积会扩大。
A、3倍 B、9倍 C、6倍
把一个棱长为 4 分米的正方体木块削成一个最大的圆柱体。这个圆柱体的底面直径和高都等于正方体的棱长 4 分米。圆柱体的底面半径为 4÷2 = 2 分米。根据圆柱体体积公式 V = πr²h（其中 r 为底面半径，h 为高），可算出该圆柱体体积为 3.14×2²×4 = 50.24 立方分米。
A、50.24 B、100.48 C、64
求长方体的体积公式是长×宽×高；求正方体的体积公式是棱长×棱长×棱长；求圆柱体的体积公式是底面积×高。所以求长方体、正方体、圆柱体的体积共同的公式是（ ）。
C. 体积 V 等于底面积 S 乘以高 h。
把一个圆柱体的侧面展开后，得到的是一个边长为 4 分米的正方形。这意味着圆柱体的底面周长和高都为 4 分米。根据圆的周长公式 C = 2πr（其中 C 为周长，r 为半径，π取 3.14），可算出底面半径为 4÷3.14÷2≈0.64 分米。再根据圆柱体的体积公式 V = πr²h（其中 V 为体积，h 为高），可算出这个圆柱体的体积约为 3.14×0.64²×4≈5.1 立方分米。
C 是 100.48。
把一团圆柱体橡皮泥揉成与它等底的圆锥体，圆锥体的高将变为原来圆柱体高的 3 倍。
A、扩大3倍 B、缩小3倍 C、扩大6倍 D、缩小6倍
6、一只铁皮水桶能装水多少升是求水桶的（ ）。
A侧面积 B表面积 C容积 D体积
做一只圆柱体的油桶，至少需要用多少铁皮，这是在求油桶的表面积。
A侧面积 B表面积 C容积 D体积
做一节圆柱形铁皮通风管，要用到的铁皮数量是在求通风管的侧面积。
A侧面积 B表面积 C容积 D体积
9、求一段圆柱形钢条有多少立方米，是求它的（ ）。
A侧面积 B表面积 C容积 D体积
一个圆柱和一个圆锥的底面直径相同。圆锥的高是圆柱高的 3 倍。已知圆锥的体积是 12 立方分米。那么圆柱的体积是（ ）立方分米。
①12②36③4④8
一个圆锥的体积为 12 立方厘米，其底面积是 4 平方厘米，那么它的高是多少厘米呢？
①3②6③9④12
所以和它等底等高的圆柱体的体积是 3n 立方厘米。
① n ②2n ③3n ④
一个圆柱的底面半径扩大 5 倍，意味着底面半径变为原来的 5 倍。因为圆柱的体积公式为 V = πr²h（其中 V 表示体积，r 表示底面半径，h 表示高），当高不变，底面半径变为 5 倍时，体积就会变为原来的 5² = 25 倍，所以它的体积扩大 25 倍。
A、5 B、10 C、15 D 、25
一个圆锥和一个圆柱的底面积是相等的。它们高的比为 3 比 1。那么它们的体积比是多少呢？
D、1 比 1。
一个圆柱和一个圆锥的底面直径是一样的。圆锥的高是圆柱高的 3 倍。已知圆锥的体积是 15 立方分米。那么圆柱的体积是（ ）立方分米。
A、45 B、15 C、5
四、应用题：
一个圆锥体的体积为 15.7 立方分米，其底面积是 3.14 平方分米，那么它的高是多少分米呢？
工地上运来 6 堆沙，每堆沙的形状是圆锥形把一根长2米的圆柱形钢材截成两段，且大小相同。每堆沙的底面积是 18.84 平方米，高是 0.9 米。这些沙的总体积是多少立方米呢？如果每立方米沙重 1.7 吨，那么这些沙的总重量是多少吨呢？
圆柱形无盖铁皮水桶的高与底面直径的比例为 3∶2，已知底面直径是 4 分米，那么高为 4×3÷2 = 6 分米。一只水桶的表面积为侧面积加一个底面积，侧面积是底面圆的周长乘高，底面圆周长为 3.14×4 = 12.56 分米，侧面积是 12.56×6 = 75.36 平方分米，底面积是 3.14×(4÷2)² = 12.56 平方分米，一只水桶需用铁皮 75.36 + 12.56 = 87.92 平方分米，做 2 只水桶要用铁皮 87.92×2 = 175.84 平方分米，得数保留整十平方分米为 180 平方分米。
会议大厅里存在 10 根柱子，这些柱子底面直径为 0.6 米，高是 6 米，且为圆柱形。现在需要给这些柱子刷上油漆，每平方米需用油漆 0.5 千克，那么刷这些柱子需要用的油漆量为多少千克呢？
从一根钢材上截下 2 米，这根钢材的截面直径是 6 分米。每立方分米钢重 7.8 千克，需要求出截下的这段钢的体积，再乘以每立方分米钢的重量，就能得到截下的这段钢的重量。
圆柱形容器底面半径为 4 分米，高 6 分米，容器盛满水。把这些水倒到棱长 8 分米的正方体容器内，求水深。
压路机的前轮呈圆柱形。轮宽为 1.5 米，直径是 1.2 米。前轮每分钟转动 10 周。那么每分钟前进的距离为：圆周率乘以直径再乘以每分钟转动的周数，即 3.14×1.2×10 = 37.68 米。每分钟压路的面积为：每分钟前进的距离乘以轮宽，即 37.68×1.5 = 56.52 平方米。
有一段钢能够做成一个底面直径为 8 厘米且高为 9 厘米的圆柱形零件。如果将其改制成高为 12 厘米的圆锥形零件，那么这个圆锥形零件的底面积是多少平方厘米呢？
