引力波有什么作用？它的具体形式是什么？如何具体观测引力波的存在？ 12月15日中午12点，《张朝阳物理课》第232集上线。张朝阳，搜狐创始人、董事长兼首席执行官，博士。物理课，坐在搜狐视频直播间继续上一堂课。 ，在得到度规摄动满足的波动方程后，具体求解度规的形式，引入引力波的两种模式，并利用大地偏差方程引入引力波引起的可观测效应。
张朝阳推演引力波的具体形式
广义相对论的基本框架
张朝阳首先带领大家回顾了广义相对论的基本框架。广义相对论指出，物质的存在会导致时空弯曲。在探索粒子在弯曲时空中的运动时，我们可以抛开粒子受到“引力”的想法，直接认为粒子需要在这个弯曲时空中走出“最短线”。时空的曲率可以借助二阶张量（度量）来描述。度量的一阶导数可以定义符号，进而可以描述基向量随坐标的变化。通过获取克赖斯弗符号的导数并以特定方式组合它们，可以定义空间的黎曼曲率。时空是否弯曲由黎曼曲率决定。这样，黎曼曲率实际上由度量的二阶导数组成。如果黎曼曲率为 0，则意味着时空（局部）是直的。如果不为0，则说明时空是弯曲的。
时空曲线如何由物质的存在决定。如果想知道度量是什么，就需要弄清楚度量与物质存在的具体关系。描述这种关系的是爱因斯坦场方程。黎曼曲率是一个四阶张量，未明确包含在爱因斯坦场方程中。然而，经过特定的收缩，可以获得Ricci张量，它是一个明确包含在方程中的二阶张量。 。当然，Ricci张量还包含度量和K-算子等信息。假定度量的形式后，我们可以将其代入场方程并对度量进行反求解。一旦我们有了度量，我们就可以很好地描述时空的曲率。
当需要描述测试粒子在空间和时间上的运动时，可以得到符号，然后求解相应的测地方程即可得到粒子的运动轨迹。在之前的课程中，我们已经解决了恒星附近光轨的弯曲角度。这也是广义相对论早期实验验证的重要结论之一。这个角度恰好是牛顿力学给出的结果的两倍。水星近日点的岁差也已被计算过。太阳系中所有行星绕太阳运行的轨道实际上并不是严格的椭圆，而是不断进动的不闭合曲线。水星距离太阳最近，因此影响最明显。
此外，广义相对论的恒星内部解也已得到解决。恒星不是单个粒子。其内部需要用密度和压力来描述，然后给出能量和动量张量。借助爱因斯坦场方程，我们最终可以得到恒星内部的静态方程，这将比经典的流体平衡方程需要更多的修正。
引力波的具体形式
除了这些静态的例子之外，动态的情况也值得探索。例如，爱因斯坦场方程给出的时空曲率会像波一样传播吗？爱因斯坦早在1916年就预言了引力波的存在，这一预言最终得到了证实。广义相对论是狭义相对论的延伸。狭义相对论表明物理过程有一个速度上限，即光速c。人们很自然地认为，由物质引起的时空弯曲也需要时间来传递，而不可能是瞬时的，这说明这种波动是极有可能存在的。
爱因斯坦场方程能否给出这种稳定的波形？爱因斯坦当时对这个问题给出了肯定的答案。尽管这一预言经历了否认和肯定，但最终在20世纪70年代通过对双中子星纠缠现象的观测而间接得到证实。双中子星在旋转时能量和速度会发生变化，这种变化可以通过引力波辐射来很好地描述。人类第一次真正观测到引力波是在2015年9月14日，美国LIGO的两个激光干涉引力波天文台记录了相应的信号。此后，越来越多的引力波事件被发现，更精密、更大的测量设备开始建造，迎来了引力波天文学的新时代。
与电磁波相比，引力波与物质的相互作用要弱得多，因此具有极强的穿透能力。宇宙相对于引力波来说几乎是“透明的”。宇宙大约第38万年被称为重组期，在此期间电子和原子核结合形成原子。在此之前，可见物质主要以等离子体的形式存在，电磁波与等离子体的相互作用极其强烈。现阶段很难以电磁波的形式保留进化信息。比如现在能观测到的宇宙微波背景辐射，就是38万年后留下的灰烬。但需要注意的是，引力波能够很好地保存下来，这对于研究宇宙早期演化具有重要意义。引力波天文学是目前的热门话题，引力波的实际观测是过去几十年令人兴奋的发展。
人类2015年首次观测到的引力波实际上起源于距离地球13亿光年的两个黑洞的合并。两个黑洞的质量分别为29个太阳质量和36个太阳质量。合并后，3个太阳质量的能量以引力波的形式释放出来。经过13亿年的传播，它们于2015年9月抵达地球。引力波到达地球后，实际上非常微弱。在弱场近似下，非线性爱因斯坦场方程可以简化为线性方程，这正是上一课所做的。
就像解决史瓦西度量这样的问题一样，必须首先采用度量的形式，然后进一步求解爱因斯坦场方程。
从上一堂课得到的
也就是说
对于这样的达朗贝尔方程，可以假设解具有以下形式：
在这种形式中，若要满足式(1)，则需要
假设波沿z方向传播，即
可以获得
但
为了在做数学之前先获得一些直觉，张朝阳展示了一些图像：
双黑洞合并并释放引力波 |图片来自网络
当平面引力波（横波）穿过LIGO的探测装置时，它们会挤压时空。 LIGO装置由两个相互垂直的4公里长的干涉臂组成。激光被分成两束，在两个干涉臂中来回传播，最后会聚进行干涉。由于引力波对两个干涉臂施加的压力不同，光传播的距离不同，就会发生干涉。引力波有两种模式。直观上，一个是在XY轴上交替挤压，另一个是在45°角方向交替挤压。接下来，张朝阳对这两种模式进行了详细的计算。
引力波“+”模式示意图
引力波“x”模式示意图
为了找到引力波的具体形式，需要找到极化矩阵c的值。正如上一课所分析的，除了洛伦兹规范条件之外，坐标变换还有四个额外的自由度。经过适当的坐标选择后，可以得到如下TT规范（即横向无痕规范，具体推导见附录）：
空间条件
无痕状态
水平条件
通过水平条件(4)可得
结合空间条件(2)，立即可得c应具有如下形式：
注意无痕条件(3)，则
就是对应两种模态的两个自由度，分别用c11和c12来描述。
引力波的测量
如何具体测量引力波引起的时空曲率？第一个想到的可能是测地线方程。测地线方程可以给出测试粒子在弯曲时空中的轨迹，引力波的存在或不存在确实会改变粒子的测地线，但观测时处于同一局部时空的观察者仍然有没有参考。引力波的存在无法得到证实。为了确认时空曲率的这种变化，需要两个测试粒子。两个粒子的位置非常相似，但一开始就不同。随后，两个粒子在引力场中的不同轨迹可以给出有关引力场的信息。描述这种轨迹差异的方程不再是测地方程，而是测地偏差方程（ ）。这里给出它的形式，暂时不做推导：
当粒子速度相对于光速很低且引力波带来的引力场很弱时，可以假设这四种速度具有以下形式
该方程简化为
这需要获得黎曼曲率张量。注意，在弱场近似下，高阶项可以忽略，那么我们有
克里姆林宫标志有以下形式：
注意引力波的形式（5）。只要上式中h包含0，则下位索引为0，因此大地偏差方程变为
当考虑引力波的+模式时，c具有以下形式
更远
s1为x方向的变形，s²为y方向的变形，可得如下近似解
可以清楚地看到xy方向上的交替挤压过程。
张朝阳求解引力波背景下的测地偏差方程
内容补充
TT 规范条件对于课程中的解决方案至关重要，本节将证明它是合理的。从上节课的讨论开始，我们得到
和洛伦兹条件
当你真正求解的时候，你会发现这两个方程并不能唯一确定h的形式，这意味着仍然存在冗余的自由度。这些自由度可以通过以下变换表示
这里，对坐标进行无穷小变换并应用限制。变换后的h与变换前的h的关系为
经过验证可以发现，新的h也满足达朗贝尔方程和洛伦兹规范条件。这样，引力波就会留下10-4-4=2个自由度。上面提到的四个自由度并不一定会使问题复杂化。合理选择规格可以使问题简单化。就像课程中推导时使用的TT规范条件一样，不仅成功限制了四个自由度，而且给解决问题带来了便利。为了证明TT规范条件的合理性，只需构造一组坐标变换，使新的h满足三个规范条件（空间条件、无迹条件、横向条件）即可。经过尝试，可以发现如下构造符合要求：
由于h满足达朗贝尔方程，而这组向量是利用h构造的，因此也满足达朗贝尔方程，这意味着新的h仍然满足达朗贝尔方程和洛伦兹规范条件。接下来将对空间条件、无痕条件、横向条件一一进行验证，证明这次变换找到了满足TT规范条件的新h。首先是空间条件
进一步求变换后h的迹
使用 h 的达朗贝尔方程
可以获得
重复使用洛伦兹规范条件
可以获得
可见满足无痕条件。另一方面，
注意到
这里再次使用达朗贝尔方程。继续利用洛伦兹规范条件，我们可以得到
可以发现满足水平条件
通过以上构造和推导，空间条件、空间条件、无痕条件均满足。在TT规范的条件下，忽略这些繁琐的符号并直接求解以下方程是合理的。
据了解，《张朝阳物理课》每周日中午12点将在搜狐视频直播。网友可在搜狐视频APP“关注直播”中搜索“张朝阳”观看直播及历次完整视频回放；关注“张朝阳物理课”“物理课”账号，查看课程中“知识点”短视频；另外，您还可以在搜狐新闻APP的“搜狐科技”账号上阅读各物理课程的详细文章。
