不仅仅是圆圈，您可以在门格尔海绵（ ）中找到任何数学结（knot）！
您可能对门格尔海绵比较陌生。它是卡尔（）在1926年提出的一个非常有趣的概念，对现代数学、图形学等领域非常重要。
这种分形海绵一百年来吸引了无数专业和业余数学家，原因很简单：它看起来很有趣。
2014 年，数百名数学爱好者还参与了一项全球行动，用名片制作新的 200 磅重的门格尔海绵。
由于其多孔、泡沫状的结构，常被用来模拟减震器和特殊的时空形式。
其结构非常优雅。我们可以从一个立方体开始，首先去掉立方体的中心和它的六个面的中心。然后用剩下的 20 个立方体重复这个过程。
在每次迭代中，它的间隙呈指数级增长，最终的结构与我们常见的“海绵”非常相似，这也是它名字的由来。
门格尔海绵还具有非常特殊的数学特性：随着它的迭代，立方体形状的体积减小到零，而表面积则无限增加。
当这个概念在1926年提出时，人们证明了任何可以想象到的曲线——简单的直线和圆圈，看起来像树或雪花的结构——都可以变形，然后嵌入到海绵的某处，即这种海绵是一条“通用曲线”。
今天的主角，来自加拿大的三名高中生，跟随当时还是多伦多大学研究生的Maros ，进一步拓展了这个定理的证明。
他们还发现，“椒盐卷饼结”类型的三叶结也可以映射到四面体版本的门格尔海绵。
北卡罗来纳州立大学的一位拓扑学家也评论道：“这是一种非常巧妙的证明方法。”
这是怎么做到的？
使用弧图和康托集来表示结
读完证明后，他意识到已经证明可以在他的海绵中找到任何圆。
那么，如果是另一种类似“圆”的形状，这个定理还能成立吗？
例如，一个经典的数学结：将一根绳子扭转并打结，然后将两端闭合形成一个环。此时，如果让一只蚂蚁沿着它走，它最终会回到起点，就像在一个圆圈上一样。
这样，每个结都相当于圆，或者说与圆“同构”。
受到这个想法的启发，他决定找他所任教的高中的一些学生来证明在门格尔海绵中可以找到任何结。
后来，三位高中生——Noah和Niko Voth真的做到了！
在参加这次证明活动之前，三名学生从未做过这样的“无解”题，但14岁的孩子们却非常兴奋。
他们的目标类似于将一根小针穿过一团灰尘，这是海绵被多次移除后剩下的东西。
他们必须将针插入正确的位置，精确地打结，并且不能离开海绵。如果他们的线因为任何结而漂浮在海绵的接缝中，那就是失败。
虽然这看起来很困难，但有一个简化的方法。结可以表示为平面上的特殊图形，称为弧表示（arc）。
要绘制圆弧表示，您首先需要了解绳结的线如何来回移动。然后使用一组规则将这些信息转换为网格上的一系列点。网格的每一行和每一列将包含两个点。
用水平线和垂直线连接这些点。每当两条线段相交时，在水平线上方绘制垂直线。
每个结都可以用这种网格状的方式表示。尽管弧表示有时看起来比其他绘图方法更复杂，但它使数学家可以更轻松地研究纽结的一些重要属性。
当学生看到纵横交错的线条图时，他们会想到门格尔海绵的面孔。
您可以非常简单地将弧线的水平线放在海绵的一侧，将垂直线放在海绵的另一侧。
困难在于将结拉伸回三个维度。在弧线的每个角处，两个面都需要通过海绵内部连接起来，避免打孔。
为了确保这一点，他们提出了康托集，这是门格尔海绵的一维模拟。
要构建此集合，请从一条线段开始并将其分为三个部分。删除中间三分之一，然后对剩余的两部分执行相同的操作，依此类推。最后剩下的都是散点。
该团队的演示同时利用了门格海绵和康托集，它们具有相同数量的去除步骤。
他们发现，海绵表面上坐标全部为康托浓度的点不应有孔洞。而且，由于海绵的重复设计，这些点的正后方也不应该有孔。因此，结可以自由且清晰地穿过海绵，而不会意外地从海绵材料中弹出。
接下来，学生必须证明他们可以压缩或拉伸任何结的弧表示，使其所有角与康托集中的坐标对齐。 （这种压缩和拉伸是可能的，因为它不会影响弧的整体结构，因此不会影响它所代表的结）。
为了完成这最后一步，三个学生走了一条捷径。
他们表明，他们可以使任何弧变形，使其垂直线段和水平线段的交点位于康托集内。这会自动保证更多的角也将与康托集对齐。
换句话说，他们总是可以将给定的结嵌入门格尔海绵的某种迭代中。
这样就完成了初步证明。然而，他们想将这项研究更进一步：所有的结是否也可以嵌入门格尔海绵的四面体版本中？
学生们在四面体中找到三叶结的想法最初被认为是不可能的。
但几周后，学生们真的做到了：他们找到了一种新方法，将三叶结的弧形表示映射到四面体。
他们后来证明，这种方法适用于更广泛的结类型，称为椒盐卷饼结，三叶结属于这种结。
然而，其他类型结的证明尚未完成。
还有一件事
他表示，这个证明过程让学生真正体验到了数学研究的痛苦。
与总是给出明确答案的高中数学问题不同，真正的数学研究很大一部分是在与充满希望的失败作斗争。
认为学生的证明方法可能提供一种更普遍地衡量分形复杂性的新方法。
并非所有分形都能保证适应所有类型的结。也许可以通过它们可以和不能容纳什么类型的结来更好地理解它们的结构。
至少，这个作品可以激发新的艺术灵感，类似于2014年的比赛等等。
认证期间，三位同学均已高中毕业。只有他们决定在不忙于大学学习的时候继续研究四面体问题，但他们三个人也都在考虑从事数学事业。
另一位同学也表示：“我正在努力为更大的事业和真理的本质做出贡献，这感觉很有意义。”
参考链接：
