21岁时，他完成了《算术研究》一书，这本书使他成为当时欧洲最伟大的数论学家。
在书中他提出了同余表示法和高斯表示法（向下舍入表示法）。
我们都知道整数相除会产生不可整除的余数，而同余符号和同余表达式就是用来研究余数之间的关系的。
假设m是给定的正整数，a和b是整数。如果a和b除以m得到的余数相同，则称a和b模m全等，表示为aeqb(mod m)。
它可以被认为是除了加、减、乘、除之外的另一种计算。
同余表达式也产生方程，称为同余方程。
我国古代一项重要的数学成就就是同余问题，也就是俗称的“物不知其数”问题：
有些东西的编号我不知道。当我数到三、三时，还剩下两个。当我数到五、五的时候，还剩下三个。当我数到七、七时，还剩下两个。询问事物的几何形状？
即一个数除以3余数为2，除以5余数为3，除以7余数为2，这个数是多少？这个问题等价于一个同余方程组：
x=2(mod 3)
x=3(mod 5)
x=2(mod 7)
这个方程可以用欧式除法或者“大衍七一术”来解答。
这也是著名的中国余数定理（孙子定理）。
著名的中国剩余定理是求解线性同余方程组的问题。
高斯在《算术研究》中最值得骄傲的成就就是证明了二次互反律。这是一个极其强大的武器，可以用来快速判断二次同余方程是否有解。
例如： x^2^3(mod 7) 有解吗？
我们先观察1、2、3、4、5、6除以7的余数，然后再观察它们的平方除以7的余数。
对于像 7 这样的奇素数作为除数，一级同余会得到所有余数，但二级同余只会得到一半的余数，而且它们是对称分布的。与整数之间存在模糊的内部联系。
提出了一个用于二次残差问题的符号，称为符号。假设p是任意奇素数，那么d在p上的勒让德符号可以被认为是关于d的函数，它只有三个结果：0、1和-1。
如果为0，则表示d是p的倍数，这是一种特殊情况；
如果结果为1，则说明二次同余方程x²eqd(mod p)有解，d为二次余数mod p；
如果结果为-1，则表示二次同余方程无解，d 为模 p 的二次非残差。
哪个结果可以通过欧拉判别法来判断：d到p的勒让德符号与d^(p-1)/2模p全等。
欧拉准则
勒让德符号也有一定的运行规则。最重要的是：“分子”可以分解为质因数相乘的形式； “分子”还可以任意减去“分母”的整数倍，通过减少“分子”，可以使“分子”的判断变得容易。
例如，我们想要确定二次同余方程 x²eq3 (mod 7) 是否有解。
由欧拉判据可知，3对7的勒让德符号最终结果为-1，
a^(p-1)/2=3^3=27，且 27−1(mod 7)，所以这个二次同余方程无解。
但当“分母”p很大时，就很难判断了。例如，当p=227时，计算一个数的113次方将花费很长时间。
这时高斯提出了二次互易定律。
通过它，可以将一个非常大的“分母”转化为“分子”，从而同时减少p和q，从而可以快速做出判断。
让我们检查一下这个二次同余方程 x²eq137 (mod 227) 是否有解。
当勒让德符号 5 与 227 比较困难时，可以使用二次互易定律并使其等于 -1。最后，137 vs. 227 的勒让德符号等于-1，所以原来的二次同余方程无解。 。
这个定律是如此强大，以至于高斯很喜欢它，并将其称为“黄金定理”。如今，数论和同余论广泛应用于计算机加密等领域。
早在15岁（1792年），高斯就在数论上有了一个惊人的猜想，后来成为素数定理。
它表示自然数中素数的分布模式。
等价于素数定理
随着 x 数量的增加，素数总数接近 x 除以 x 的自然对数。
我们不知道高斯是如何得出这个公式的。一贯谨慎的高斯没有留下任何思考过程，只留下最终的结果，而这个公式直到一百年后（1896年）才被证明。
据说高斯把数素数当作一种消遣。他只用了大约一刻钟的时间，就数出了1000个数字每个字段中的质数。经过多年的积累，他居然算出了百万以内的所有素数。这很可能是数学天才的奇迹。如此大量的数据直接作为他提出素数分布的例子。
高斯曾说过：“数学是科学的女王，数论是数学的女王”。 （是……的女王和……的女王。）
显然，高斯从小就欣然接受了“数学女王”的邀请。 （在英语中，queen和queen是同一个词“Queen”）
无论在哪个领域，好奇心、热爱和毅力最终决定一个人能走多远。
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