（2）弯曲内力
从梁的内力分析可知，一般情况下，梁的横截面上既有弯矩M，也有剪力Fs，相应的应力既有正应力，也有剪应力。
01
纯弯曲
若梁的某一截面上各横截面的弯矩为常数，剪力为零，则梁的这一段的弯曲称为纯弯曲。
纯弯曲梁只有法向应力，没有剪应力。
应力的产生过程与杆中的拉伸、压缩和扭转过程类似：
实验→观察表面现象→应力假设→静态等效，得出应力公式。
1. 两个假设
平面假设：梁的横截面在变形前为平面，变形后仍为平面，且垂直于变形梁的轴线；
单向力假设：纵向纤维不会相互挤压，仅受到单向的拉伸和压缩。
2. 中性轴
当梁受到应力变形时，必然存在一层在变形前后长度不变的纤维，这层纤维称为中性层。
中性轴：中性层与横截面的交点。中性轴通过横截面的质心。
（3）正应力
其中：为梁横截面上的弯矩；为梁横截面上任一点到中性轴的距离；为梁横截面绕中性轴的惯性矩。
02
横向弯曲正应力
当梁的横截面上既有弯矩又有剪力时，梁的弯曲称为侧向弯曲。
1. 侧弯的特点
当梁受到横向力弯曲时，梁的横截面上既存在正应力，又存在剪应力。
剪应力使横截面弯曲，侧向力使平行于中性层的纵截面产生压应力，纯弯曲中的平面假设和单向力假设不成立。
2. 正常压力
虽然侧向弯曲与纯弯曲不同，但纯弯曲的正应力计算公式一般可以用于侧向弯曲梁，即仍采用正应力公式
此公式适用于：
在弹性变形范围内；
长梁（跨高比≥5）；
平面弯曲；
· 直梁。
3. 最大法向应力
最大正应力发生在横截面上距中性轴最远的点。
称为弯曲截面系数。
不同截面形状的弯曲截面系数
对于中性轴不是对称轴的截面，最大拉应力、压应力应根据截面拉、压部分距中性轴的距离计算。
03
侧向弯曲引起的剪切应力
剪应力是由截面上受到的剪切力引起的，比正应力更为复杂，不同的截面形状有不同的分布规律。
1. 矩形截面梁
（1）基本假设
横截面上的剪应力方向与剪切力Fs平行；
剪切应力均匀分布在截面宽度上。
(2) 剪应力公式
在：
为横截面上的剪切力；为整个横截面绕中性轴的惯性矩；为矩形截面的宽度；为距中性轴 处水平线外侧的横截面积绕中性轴的静矩。
高度以抛物线方式变化。
是矩形横截面的面积。
2.工字梁
公式与矩形截面梁相同
其中：为腹板厚度。
腹板上的剪应力沿腹板高度方向按二次抛物线规律变化，且最大剪应力也出现在中性轴上。这也是整个截面上的最大剪应力。
3. 圆形截面梁
横截面边缘上各点的剪应力方向与圆周相切，沿宽度方向各点的剪应力均汇聚于一点；各点沿方向的剪应力分量沿宽度方向相等；最大剪应力发生在中性轴上
是圆的横截面积。
4. 圆形截面梁
横截面上的剪应力大小沿壁厚方向不变；剪应力方向与圆周相切；最大剪应力发生在中性轴上
A为环的横截面积。
5.其他截面梁
其他非对称截面的剪应力比较复杂，甚至最大剪应力也不一定出现在中性轴上。对于T形截面和工字形截面梁，可采用工字形截面梁的计算公式。
各符号含义与工字型截面相同，最大剪应力也发生在中性轴上。
04
强度条件
1. 正应力强度条件
与杆的拉伸、压缩和扭转一样，强度条件可用于进行强度检查、截面设计和确定允许载荷。对于具有不同拉伸和压缩确定值的梁，应分别进行强度设计。
2. 剪应力强度条件
一般情况下，弯曲梁只需进行正应力强度设计，但有几种特殊情况需要进行剪应力强度校核：
（1）短梁或深梁（跨度较小）弯矩较小，但剪力较大。
（2）对于铆接或焊接组合型钢，其腹板厚度与高度之比小于型钢的相应之比；
（3）各向异性材料（如木材）抗剪切性能较差时。
例1：图中所示为某铸铁梁的荷载与截面，已知截面绕质心轴的惯性矩=403×10m，铸铁的抗拉强度=50MPa，抗压强度=。试按正应力强度条件校核该梁的强度。
解：（1）画出弯矩图
（2）计算截面最大应力
均满足强度要求。
例2：为吊运重量=300kN的大型设备，采用150kN和200kN起重机各一台，并采用工字钢作为副梁，组成临时附加悬挂系统，如图所示。已知副梁长度=4m，钢材许用应力[σ]=，试计算：
（1）副梁在什么位置可保证两台起重机不超载？
（2）辅梁应选用多大尺寸的工字钢？
解：（1）设作用在起重机上的力为FA、FB，列出平衡方程：
获得
设≤200，≤150，则
2米≤≤2.667米
（2）当两台起重机均达到最大起重能力时，梁所受弯矩最大。
但
根据表格，可选用50a工字钢，=，设计误差为
例 3：图中所示结构承受均匀载荷。它是一根 10 号工字钢梁，由一根直径为 20mm 的钢杆悬挂。梁和杆的许用应力为 [σ] =。忽略剪应力，试计算结构的许用载荷。
解决方案：（1）找到点反作用力和杆拉力
（2）梁强度设计
绘制弯矩图
（3）杆件强度设计
所以
=15.68千牛/米
例4：图中所示为工字钢。 =2m， =0.2m， =10kN/m， =200kN，材料的许用应力=， =。试选取工字钢型号。
解决方案：（1）计算支座反力并绘制剪力图和弯矩图
（2）按最大弯矩选择工字钢型号
检查钢表并选择 22a 工字钢，=
（3）检查梁的剪应力
查钢板表，22a工字钢腹板厚度=0.75cm，
最大剪应力
则应选取较大的截面，选取25b工字钢进行试算。
因此应选用25b型号的工字钢。
05
提供抗弯强度的测量
它主要基于梁的法向应力强度条件。
1.减小梁的最大弯矩
（1）合理布置梁荷载
（2）合理设置支撑位置
2. 增加 Wz
（1）合理选择截面形状
如果面积相等，则下列三种横截面积中，矩形横截面积最为合理。
（2）合理摆放
以下三种横截面的放置方式中，左边的放置方式较为合理。
3.根据材料特性选择截面形状
对于塑性材料制成的梁，选择以中性轴为对称轴的截面；
对于由脆性材料制成的梁，建议采用T形或其他关于中性轴不对称的截面，并将翼缘置于受拉侧。
4. 使用等强度梁
即梁的各个横截面上的最大法向应力相等，并达到材料的许用应力。
5.合理使用材料
充分发挥不同材料的抗拉、抗压性能。
06
概念练习
1. 判断对错
（1）对于相等截面积的杆材，从强度方面考虑，圆形截面和方形截面的杆材较好：在轴向拉伸作用下，圆形截面杆材优于方形截面杆材（ ）；在扭转作用下，圆形截面杆材优于方形截面杆材（ ）；在纯弯曲作用下，圆形截面杆材优于方形截面杆材（ ）。
(2) 如图所示，具有相同截面形状和尺寸的钢梁与木梁，其AA截面上的正应力分布相同（ ）；梁中最大正应力值相同（ ）；梁中最大纵向线应变值也相同（ ）。
2. 选择填空
（1）设对称弯曲直梁的弯曲刚度EI沿梁的轴线方向为常数，则变形后的梁轴线为（ ）。
A.是一条长度相同的圆弧线。
B.是一条弧线，长度变化
C.不是弧，但长度保持不变
D. 它不是圆弧，并且长度会发生变化
（2）如图所示的十字形截面上，剪力为。 为计算mm线上的剪应力，式中，为截面阴影部分（ ）。
A. 绕轴的静力矩，
B.绕轴的静力矩，
C.绕轴的静矩，
D.绕轴的静矩，
（3）悬臂梁由两块槽钢背对背叠合而成（中间无任何固定连接），如图所示。在荷载作用下，截面上正应力分布如图（ ）所示。
参考
[1]孙训芳.材料力学（第6版），高等教育出版社，2019
[2]刘洪文.材料力学（第6版），高等教育出版社钢材许用应力计算公式，2017
练习答案
1.(1)×钢材许用应力计算公式，√，×
（2）√，√，×
2. （1）A （2）D （3）D
