由 Heart 编译
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近日，一个几十年未解的数学难题首次取得进展。
推动这一进展的研究人员分别是加州大学洛杉矶分校的研究生 James Leng 和麻省理工学院数学研究生、哥伦比亚大学助理教授 Sah。James Leng 师从著名数学家陶哲轩，Sah 师从离散数学专家赵雨飞。
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要理解这项研究取得的突破，我们需要从算术级数说起。
等差数列的前 n 项之和称为等差级数，又称算术级数。1936 年，数学家 Paul Erdős 和 Pál Turán 推测，如果一个集合由非零整数分数（甚至 0. %）组成，那么它一定包含一个任意长的等差数列。唯一能避免等差数列的集合是那些包含可忽略不计的整数部分的集合。例如，集合 {2, 4, 8, 16, …}，每个数字都是前一个数字的两倍，沿着数轴展开，没有级数。
1975年，数学家恩德烈·埃迪证明了这一猜想。他的工作催生了许多至今数学家仍在探索的研究方向。
数学家们已经确定了 édi 在有限数集（从 1 到某个数 N 的所有整数）情况下的结果。在不可避免地包含禁忌序列之前，集合的可用部分是初始池有多大？随着 N 的变化，这个比例如何变化？
例如，假设 N 为 20。在避免长度为 5 或更长的数字序列的情况下，可以写下这 20 个数字中的多少个？答案是初始池的 16% 到 80% 之间。
édi 首次证明，随着 N 的增长，这个分数必定会缩小到零，此后数学家们一直试图量化这一过程发生的速度。
去年，两位计算机科学家的突破性研究几乎解决了具有三个项的级数（例如 {6, 11, 16}）的问题。但是，当你试图避免具有四个或更多项的等差级数时，问题会变得更加复杂。这是因为较长的级数反映了难以使用传统数学方法揭示的底层结构。
三项等差级数中的数字 x、y 和 z 始终满足简单方程 x – 2y + z = 0（例如，级数 {10, 20, 30}：10 – 2*(20) + 30 = 0），证明一个集合是否包含满足此条件的数字相对容易。四项级数中的数字还必须满足更复杂的方程 x^2 – 3y^2 + 3z^2 – w^2 = 0，其中五项级数越多，满足的方程就越复杂。这意味着包含此类级数的集合将表现出更微妙的模式。对于数学家来说，证明此类模式是否存在也更加困难。
20 世纪 90 年代末，这位数学家提出了一种理论来克服这一障碍。他后来因这项工作而获得了数学界的最高荣誉菲尔兹奖。2001 年，他应用埃迪定理的方法证明了集合最大大小的更好界限，避免了给定长度的算术级数。
2022 年，当时还是加州大学洛杉矶分校研究生二年级学生的詹姆斯·伦 (James Leng) 开始理解 的理论。他考虑的不是埃迪定理。相反，他想回答与 的方法相关的问题。
然而，经过一年多的艰苦探索，他却一无所获。
一直在思考相关问题的萨在了解冷教授的作品后表现出浓厚兴趣，其中一位甚至表示：“我很惊讶自己能这样思考。”
萨和冷意识到他们的工作可能有助于他们在埃迪定理上取得进一步进展。几个月内，这三位年轻的数学家就想出了如何在不使用五次级数的情况下获得更好的结果。然后，他们将他们的工作扩展到任意长度的级数，标志着该问题自证明以来 23 年来首次取得进展。
表达
，不具有 k 项算术级数的最大子集的大小。Leng、Sah 和证明，对于 k ≥ 5，存在 c_k > 0，使得
研究团队
论文第一作者James Leng是加州大学洛杉矶分校（UCLA）数学研究生，本科毕业于加州大学伯克利分校，师从著名数学家陶哲轩。
James Leng 的研究兴趣包括算术组合学、动力系统和傅里叶分析等。他的研究也得到了美国国家科学基金会研究生奖学金的支持。
詹姆斯·冷
萨从小就热爱数学，在竞赛中接触到高等数学，成绩优异。2016年夏天，16岁的萨赢得了国际数学奥林匹克（IMO）金牌，次年进入麻省理工学院学习。
萨赫
在麻省理工学院学习期间，有两个人对萨的数学发展起到了重要作用。第一位是赵雨飞教授，她是离散数学硕士，也是萨的研究生导师。
第二，两人在课堂上相识并成为朋友。后来，两人一起做研究，探索离散数学领域的各种主题，例如图论、概率论和随机矩阵的性质。自麻省理工学院本科时期相识以来，两人共同撰写了令人难以置信的 57 个数学证明，其中许多对各个领域产生了深远影响。
他目前是哥伦比亚大学的助理教授，研究兴趣包括组合学、概率论和理论计算机科学。
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